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#生物化学 #酶 #酶促反应动力学 #米氏方程 #推导

研究生命，不得不品的一环就是研究酶。几乎没有生命活动可以离开酶促反应，相比于无机催化剂，酶的效率是那么高，又可以在很温和的条件下催化反应的发生，其本身的蛋白质结构又是那么精巧。

在这一章之前，我们对酶的学习可能更偏向于了解酶促反应的底物和产物，比如学习唾液淀粉酶可以将淀粉水解产生麦芽糖，而在这一节中，我们将会一起学会如何计算酶促反应的速率

1. 酶是如何催化反应的

有关酶是如何这么高效地催化反应，科学家前后提出了不同的假说，比如米氏方程的基础：中间复合物学说

1.1 中间复合物学说

这个学说认为，酶（Enzyme）在催化反应时，并不是直接一步将底物（Substrate）转化为产物（P），而是先与底物结合，形成一个不稳定的、可逆的中间复合物（ES），然后这个复合物再分解，释放出产物和游离的酶。

也即：

E + S ⇌ E S ⇌ E + P

形成中间复合物 ES 的过程大大降低了反应活化能，因此加快了反应的进行

我们可以以锁钥模型来理解

NOTE

锁钥模型

酶像一把锁
底物像一把特制的钥匙
只有形状完美匹配的钥匙（底物）才能插入锁（酶的活性中心）中，形成复合物（ES），从而打开锁（发生反应）。

然后，基于中间复合物学说提出的锁钥模型是一个静态、刚性的模型，它无法解释：

为什么酶可以催化可逆反应
酶如何表现出对多种结构类似底物的活性

由此，一个新的学说被提出，以此来弥补中间复合物学说的不足：诱导契合学说

1.2 诱导契合学说

这个学说主要观点是：

酶的活性中心结构并不是与底物预先完全互补、刚性匹配
当底物与酶接近并结合时，会诱导酶的活性中心构象发生可逆的变化，使其形成与底物过渡态互补的、更紧密契合的结构
这种相互的诱导适应，使催化基团精确排列，从而发挥催化作用。

这个学说非常好，解决了许多中间复合物学说无法解释的问题，比如：

非常好地解释了酶的不同专一性 （详见 [[BC 5-1 酶概述#2.2 酶促反应特点]] ）：一个酶可以催化一组结构相似的底物，因为酶的构象可以被不同的底物“诱导”成大致匹配的形状。
解释了催化可逆反应：酶通过与反应物和产物的过渡态互补来催化双向反应。
解释了变构调节：效应物分子在别构中心结合，通过诱导酶整体构象变化来调节其活性。

现代的 X 射线晶体学和核磁共振等技术已经直接观测到了酶与底物、抑制剂结合前后的构象变化，也为诱导契合学说提供了确凿证据。

2. 米氏方程的假设

米氏方程是一个基于中间复合物模型的，量化酶促反应速率的方程，非常实用，也许我们以后会聊到的药物代谢动力学中也经常会用到。大概长这个样子：

V = \frac{V_{m a x} \cdot [S]}{K_{m} + [S]}

其中：

V：反应速率
Vmax：最大反应速率
【S】：底物浓度

也许你会觉得觉得一头雾水，不知道上面这一串东西是什么玩意儿，不用急，我们一步步来看。

首先，在推导上面的公式之前，我们得做一些前提假设：

在这个酶促反应时，相比于酶的浓度，底物过量：也即 $[S] >> [E]$
反应初期，产物浓度【P】很小，因此可以忽略从产物 P 到酶底物复合物 ES 的逆反应
稳态假设：随着反应的进行，酶底物复合物 ES 的形成速度降低，而分解速度加快，最终会达到一个稳态，在这个稳态中，酶底物复合物 ES 形成速度等于其分解速度，ES 浓度恒定不变。

在以上假设的前提下，我们就可以愉快地着手推导米氏方程了

3. 米氏方程的推导

回顾中间复合物学说，有以下反应过程：

E + S \underset{k_{- 1}}{\overset{k_{1}}{⇌}} E S \underset{k_{- 2}}{\overset{k_{2}}{⇌}} E + P

其中：

E：Enzyme，酶
S：Substrate，底物
ES：酶底物复合物（中间复合物）
P：Product，产物
k：反应速率

TIP

以防你忘记下面的反应速率是怎么计算的，在此提醒一下，酶促反应属于一级反应，也即反应速度只与反应物浓度成正比的反应

3.1 稳态方程

稳态时：

因为产物 P 的浓度非常小，因此其分解得 ES 的逆反应忽略不计，即 $K_{- 2} = 0$
ES 的生成速率 = ES 的分解速率，【ES】不变，有：
- ES 的生成速率 = $K_{1} [E] [S]$
- ES 的分解速率 = $K_{2} [E S] + K_{- 1} [E S] = (K_{2} + K_{- 1}) [E S]$

由生成速率 = 分解速率联立以上两式：

K_{1} [E] [S] = (K_{2} + K_{- 1}) [E S]

稍微变形得：

\frac{[E] [S]}{[E S]} = \frac{K_{2} + K_{- 1}}{k_{1}}

WARNING

在上面的推导中，你可能会有这样一个困惑：为啥可以在稳态时用反应初期的假设呢？是这个可以忽略产物 P 分解的逆反应的 “反应初期” 先结束，还是反应稳态先形成？

如果你有这个困惑，笔者会非常欣赏你，这是一个非常好非常好、切中肯綮的问题！在这里给你一个确定答案：稳态先形成。因此，有关反应初期忽略逆反应的假设在稳态中仍然可以使用。

因为，在绝大多数酶实验中：

酶底物复合物 ES 会在毫秒数量级内到达稳态
产物 P 的明显累积需要秒到分钟数量级

二者的时间尺度差异极大。

此外值得一提的是，米氏方程实际上描述的是在反应初期，底物浓度与反应速率（也即初速度）的关系，并不讨论反应时间与反应速率的关系

3.2 米氏常数 Km 的定义

由于处于稳态中，显然 $K_{2}$ 、 $K_{- 1}$ 、 $K_{1}$ 都是常数，因此，不妨将这个整体也视为一个常数 $K_{m}$ 参与后续计算，即令：

\frac{[E] [S]}{[E S]} = \frac{K_{2} + K_{- 1}}{k_{1}} = k_{m}

这里我们定义的 $K_{m}$ 就是我们最终公式中的米氏常数。后面我们也会以一个更直观的方式来理解 $K_{m}$ 的特别意义。

对这个式子，我们单独把酶浓度【S】提出来，后面要用：

[E] = \frac{[E S] k_{m}}{[S]}

3.3 酶和酶底物复合物浓度的消元

由于酶 E 和酶底物复合物 ES 的浓度不好确定，我们更希望以更好控制的底物浓度 S来计算反应速率，因此，要想点办法把最后公式中的酶浓度【E】和酶底物复合物浓度【ES】这两项给消去。

我们不妨设整个反应体系酶的量，也即 反应的 0 时刻 (t = 0) 酶的浓度为 $E_{0}$ 显然，会有：

[E_{0}] = [E] + [E S]

我们先前已经推导过酶浓度【E】的公式为：

[E] = \frac{[E S] k_{m}}{[S]}

这里直接代入即可得：

[E_{0}] = \frac{[E S] k_{m}}{[S]} + [E S]

如果你看到了这里，那么要恭喜你：米氏方程推导最难理解的部分已经过去，剩下的都是水到渠成了。

准备工作都完成，下面我们来引出酶促反应速率的计算。

3.4 酶促反应速率

我们以生成物的生成速率来表示反应速率 V，也即有：

V = k_{2} [E S]

WARNING

注意：这里的 V 实际上仍然讨论的是反应初期的反应速率，你甚至可以在某种程度上把它理解为初速率

当反应速率达到最大时（Vmax），所有的酶 E 都参与了催化，形成了酶底物复合物 ES，也即：

当 反 应 速 率 达 到 V_{m a x} 时 ， [E S] = [E_{0}]

因此：

V_{m a x} = k_{2} [E_{0}]

我们将反应速率 V 与最大 Vmax 相比，可以消去 $K_{2}$ 这一项：

\frac{V}{V_{m a x}} = \frac{k_{2} [E S]}{k_{2} [E_{0}]} = \frac{[E S]}{[E_{0}]}

在 “3.3 酶和酶底物复合物浓度的消元 ”中，我们已经推出了 $E_{0}$ 的关系式为：

[E_{0}] = \frac{[E S] k_{m}}{[S]} + [E S]

直接将其代入我们刚刚推出的 V/Vmax 比值公式，可得：

\frac{V}{V_{m a x}} = \frac{[E S]}{[E_{0}]} = \frac{[E S]}{\frac{[E S] k_{m}}{[S]} + [E S]}

化简得：

\frac{V}{V_{m a x}} = \frac{[E S]}{\frac{[E S] k_{m}}{[S]} + [E S]} = \frac{[S]}{k_{m} + [S]}

那么，反应速率 V 的关系式就是：

V = \frac{V_{m a x} \cdot [S]}{K_{m} + [S]}

这就是我们熟悉的米氏方程了。

WARNING

最后还得强调一下：

米氏方程是有前提的，在使用时，一定要思考一下能不能满足米氏方程的假设条件。
米氏方程中的 V 是反应初期的反应速率，不可以直接套用进反应中途的计算中，或者你可以先简单理解为这里的 V 指的是初速度。

有关米氏方程的意义，后续的生物化学与食品化学相关章节中会更新。

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1. 酶是如何催化反应的 ​

1.1 中间复合物学说 ​

1.2 诱导契合学说 ​

2. 米氏方程的假设 ​

3. 米氏方程的推导 ​

3.1 稳态方程 ​

3.2 米氏常数 Km 的定义 ​

3.3 酶和酶底物复合物浓度的消元 ​

3.4 酶促反应速率 ​

1. 酶是如何催化反应的

1.1 中间复合物学说

1.2 诱导契合学说

2. 米氏方程的假设

3. 米氏方程的推导

3.1 稳态方程

3.2 米氏常数 Km 的定义

3.3 酶和酶底物复合物浓度的消元

3.4 酶促反应速率